Тропические интерполяции

 

Фрэнк Соттилей
9 Октября 2004 Года, Колледж-Стейшен, Техас.

Всем известно, что две точки определяют линию, и многие люди, которые изучали геометрию знаю, что пять точек на плоскости определяют конус. В общем, если у вас есть м случайных точек на плоскости и требуется передать рациональную кривую степени D и через все из них, могут быть решения этой проблемы интерполяции (если м слишком большой), или бесконечное число решений (если м слишком мал), или конечное число решений (если м как раз). Получается, что `м» только прямо» значит м=3д-1 (м=2 для строк и М=5 для конуса).

Сложнее вопрос, если м=3д-1, сколько рациональных кривых степени D на интерполировать точки? Назовем это число N ИД, так что Н1=1 И Н2=1, так как строка и конической предыдущего пункта являются уникальными. Давно известно, что Н3=12, и в 1873 Цойтен [Зе] показал, что н4=620. Именно там обстояли дела до тех пор, пока около десяти лет назад, когда Концевич и Манина [км] ассоциативности используется в квантовых когомологий, чтобы дать элегантный рекурсию для этого числа.

Исследование темы в МНИИ зимний семестр 2004 на Топологические аспекты вещественной алгебраической геометрии включены исчисляющих вещественная алгебраическая геометрия, тропическая геометрия, реальная плоскость кривые и применения вещественной алгебраической геометрии. Все сплетаются воедино в разворачивающийся сюжет этой интерполяции проблема, прототип проблема перечислительной геометрии, которая является искусство подсчета геометрических фигур, определяемые данными заболеваемости условиях. Вот еще одна проблема: сколько линий в пространстве встречаются четыре данные прямые? Для ответа на этот вопрос заметим, что три линии лежат на уникально вдвойне-правили гиперболоид.

Три линии лежат в одной правящей, а вторая правящей состоит из строк, удовлетворяющих заданным трех линий. Поскольку гиперболоид определяется квадратное уравнение, в четвертой строке будет встретить его в двух точках. Через каждую из этих двух пунктов есть строка во втором постановлении, и эти две линии пересекаются наши четыре данные прямые.

Перечислительной геометрии лучше всего работает над сложными числами, так как количество реальных цифрах зависит довольно тонко на конфигурации фигур давая заболеваемость условиях. Например, в четвертой строке может встретиться гиперболоид в двух реальных точек, или в двух комплексно сопряженных точках, и так есть две или никаких реальных линий заседания всех четырех. На основе многих примеров, мы вправе ожидать, что любой исчисляющих проблема может иметь все его решения быть реальное [так].

Другой такой проблемой является 12 рациональные кривые интерполяции 8 точек на плоскости. Большинство математиков знакомы с узловые (рациональные) куб. показано на рисунке слева. Есть еще один тип недвижимого рационального куб., показанный справа.

             
Во второй Кривой, два комплексно-сопряженных отраслей встретиться в изолированной точке. Если мы пусть Н(Т)- число реальных кривых типа т 8 интерполирующих заданные точки, затем Харламов и Дегтярев [ДК] показал, что

Н() — Н()   =   8 .
Вот описание их элементарных топологических методов.

Поскольку существует более 12 таких кривых, Н() +Н() \экв 12, так и есть 8, 10 или 12 реальных рациональной интерполяции кубики 8 реальных точек плоскости, в зависимости от числа (0, 1, или 2) в кубики с изолированной точке. Таким образом там будет 12 реальных рациональной интерполяции кубики любые 8 из 9 точек пересечения двух кубики ниже.

Welschinger [W], который был MSRI постдок прошлой зимой, созданное в этом примере в теории. В целом, особенностях реальной рациональной плоскости кривая С — это узлы или изолированные точки. Четности числа узлов является его знак s(С), который равен 1 или -1. Дается 3д-1 реальных точек плоскости, Welschinger рассматривать абсолютное значение количества

s (C) ,
сумма всех реальных рациональных кривых C в степени д , что интерполировать точки. Он показал, что это взвешенная сумма не зависит от выбора точек. Напишите жд Для этого инвариант Welschinger. Например, мы только что видели, что ш3=8.

Это был прорыв, как жд была (почти) первый по-настоящему нетривиальных инвариантных в перечислительной вещественная алгебраическая геометрия. Заметим, что жд — это нижняя граница для числа реальных рациональных кривых через 3д-1 реальных точек плоскости, и зд\экв Нд’.

Михалкин, кто был организатором семестр, при условии ключ к вычислительной шд с использованием тропической алгебраической геометрии [Ми]. Это геометрия тропическое полукольцо, где операции Max и + на вещественных чисел заменить обычным операциям + и умножения. Тропический многочлен представляет собой кусочно-линейную функцию в виде

Т(х,Y в) = Макс(я,J В) {х я + Y и J В + СЯ,в J} ,
где расчет идет с обычными арифметическими операциями и максимальное берется за конечное подмножество Z с2 экспонентов из Т И СЯ,Дж реальное число коэффициентов Т. Тропический многочлен Т определяет тропической Кривой, которая является набор точек (х,Y в), где т(х,и Y) не является дифференцируемой. Здесь несколько тропических кривых.

Степень тропический Кривой-это количество лучей, стремящемся к бесконечности в любом из трех направлений Запад, Юг, или северо-восток. Тропическая кривая является рациональной, если она является кусочно-линейные погружения дерева. Узлы имеют валентность 4.

Михалкин показал, что существует только конечное множество тропических рациональных кривых степени D на интерполяции 3д-1 генерические точки. Хотя число таких кривых не зависит от выбора точек, Михалкин придает позитивный кратности для каждой тропической Кривой так, чтобы взвешенная сумма не, а фактически равна Нд’. Он также сократил эти кратности и перечисление тропических кривых комбинаторики решеточных путей в треугольнике длина одной стороны — д’.

Михалкин использовал запись Log :(C*)2 —> R2 определяемую по формуле (x,y)|—>(log|x|,log|y|), и некоторые «большие сложные пределы’ сложной структуры на (Ар*)2. В рамках этого большого комплекса предел, рациональных кривых степени D на интерполяции 3д-1 очков в (С*)2деформируются на `комплекс тропических кривых’, чьи образы под бревно-это обычные тропические кривые интерполяции изображений точек. Множественность тропический Кривой Т — число сложных тропических кривых проект Т.

А что насчет реальных кривых? После этой переписки, Михалкин прилагается реальная кратность каждой тропической кривой и показал, что если в тропических кривых интерполяции дается 3д-1 очков имеют общую реальную множественность Н, то есть 3д-1 настоящие очки, которые интерполируются из N реальных рациональных кривых степени D на. Это реальная кратность снова выражена в терминах решеточных путей.

Как насчет Welschinger инвариант? Таким же образом, Михалкин прилагается подписанная вес каждой Кривой тропический (тропический вариант Welschinger знак) и показал, что соответствующая взвешенная сумма равна Welschinger инвариант. Как и прежде, этот тропический подписано вес может быть выражен в терминах решеточных путей.

В течение семестра в МНИИ, Открытого, Харламов, и Шустин [Икс] используется Михалкин результаты оценки Welschinger инвариант. Они показали, что зд\- ютсяд!/3, а также

войдите Втд = лог НД + О(Д), журнала нд = 3д входаД + О(Д) .
Таким образом, по крайней мере, логарифмически, наиболее рациональных кривых степени D на интерполяции 3д-1 реальных точек плоскости реальны.

Есть два других экземпляров этого феномена нижней границ, первый из которых предшествует Welschinger работы. Предположим, что д — это даже и пусть Ш(ы) быть настоящим полином степени K в(дK в+1). Затем Еременко и Gabrielov [ЭГ] показали, что существуют реальные полиномов Ф1(— ы),…, ФK в(ы) степени D сВронски, чей определитель равен Ш(ы). Фактически, они доказали нижняя граница числа в K-кортежей полиномов, до эквивалентности. Аналогично, хотя в МНИИ, Soprunova и я [СС] изучал разреженных полиномиальных систем, связанных в пузе, показывая, что количество реальных растворов ограничено снизу знака-дисбаланс в посьет. Такие нижние оценки для исчислительной геометрии, которые подразумевают существование реальных решений, важных для приложений.

Например, эта история была поведана за пиво один вечер в МНИИ Практикум по Геометрическому моделированию и вещественная Алгебраическая Геометрия в апреле 2004 года. Участник, Schicho, понял, что результат Вт3=8 для кубики объяснил, почему метод он разработал всегда помогало. Это был алгоритм для вычисления приближенного параметризация дуги Кривой, через реальный рациональной кубической интерполяции 8 точек на дуге. Осталось найти условия, гарантирующие существование решения которых близка к дуге. Это была просто решена путем Фидлер-Ле Touzé, в МНИИ постдок, который изучал кубики (не обязательно рациональных) интерполяции 8 очков, чтобы помочь классифицировать реальных плоских кривых степени 9.

Библиография

[ДК] А. И. Дегтярев и в. М. Харламов, Топологические свойства вещественных алгебраических многообразий: Рохлин путь, умн. Наук, 55 (2000), нет. 4(334), 129—212.
[ЭГ] А. Еременко и А. Gabrielov, степени реальной Вронски карты, Дискретная Компьют. Гем. 28 (2002), нет. 3, 331—347.
[Икс] И. Открытого, в. Харламов, е. Шустин, логарифмической эквивалентности Welschinger и Громова-Виттена инвариантов, стенограмма:математика.АГ/0407188.
[Км] М. Концевич и Ю. Манин, Громова-Виттена классов, квантовые когомологии, и перечислительной геометрии, Комм. Математика. Физ. 164 (1994), нет. 3, 525—562.
[Ми] Г. Михалкин, Исчисляющих тропической алгебраической геометрии в р2, стенограмма:математика.АГ/0312530.
[СС] Е. Ф. Soprunova и человек, которого, нижние оценки для реального решения Разреженных Полиномиальных систем, стенограмма:математика.АГ/0409504.
[Итак,] Ф. человек, которого, Исчисляющих вещественная алгебраическая геометрия, Алгоритмические, так и количественные вещественная алгебраическая геометрия (городе пискатауэй, Нью-Джерси, 2001), DIMACS Сир. Дискретная Математика. Теор. Компьют. Канд. экон. наук, вып. 60, амер. Математика. Соц., Провиденс, Род-Айленд, 2003, стр. 139—179.
[Вт] Ж.-и. Welschinger, Инварианты реальных рациональных симплектических 4-многообразиях и нижних границ в реальном перечислительной геометрии, Э. р. Математика. Акад. ТСМ. Париж 336 (2003), нет. 4, 341—344.
[Зе] Х. г. Цойтен, Almindelige Egenskaber ВЭД Systemer АФ плоскости Kurver, Данске Videnskabernes Selskabs Skrifter, Naturvidenskabelig ОГ Mathematisk, Афу. 10БД. IV (с 1873), 286—393.

Мы выражаем огромную благодарность нашим редактором, Сильвио Леви и МНИИ членов, чьи работы мы и расскажем.


При поддержке Национального научного Фонда гранты карьеры » ДМС-0134860 и DMS-9810361 (финансирование МНИИ), и глины-математического Института РАН.

Ссылка на оригинал статьи: http://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/MSRI04/index.html

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>